中山大学高等数学一作业答案

中山大学高等数学一作业答案篇一

高等数学(一)2015下半年第一次作业

一、选择题： １．函数f(x)1ln(x1)的定义域是（ C ） x

Ａ．(1,0) Ｂ．(0,)

Ｃ．(1,0)(0,) Ｄ．(,0)(0,)

2．lim(12x)（ C ） x01x

Ａ．e Ｂ．e Ｃ．e Ｄ．１

3．ysin(x21

3x)cos()的周期是（ D ） 423

Ａ．2 Ｂ．6 Ｃ．4 Ｄ．12

4．设f(x)是奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则x0时，f(x)的解析式是（ B ）

Ａ．x(1x) Ｂ．x(1x) Ｃ．x(1x) Ｄ．x(x1)

5．函数yx2，(1x0)的反函数是（ B ）

A．yx2 (1x0) B．yx2 (0x1)

C．yx2 (0x1) D．yx2 (1x1)

6．在下列各函数中，表示同一函数的是（ C ）

A．yC．yx2与y(x)2 B．ysinx与ycos2x 2 D．yln(x2x1)与y2ln(x1) x21x与y1

x21x

7．2sinxsin2x, 1cosx, 则当x0时，与的关系是（ D ）

A．~ B．是比高阶的无穷小

D． 是比高阶的无穷小 C．,是同阶无穷小

（,0)内与y8．在区间

A．x2x3是相同函数的是（ B ） xC．x B．x x1 D．x1

9．设f(x)x(x1)(x2)(x999)，则f(0)（ D ）

A．999 B．999999 C．999! D．-999!

10．若f(x0)存在，则lim

A．f(x0) x0f(x02x)f(x0x)（ C ） xC．3f(x0) D．4f(x0) B．2f(x0)

11．函数yarcsinx1

21

4x2的定义域是（ C ）

A．[-2, +2] B．[-1, 2] C．[-1, 2] D．(-1, 2)

12．函数y2x2x的图形（ C ）

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称

13．当x0时，下列式子是无穷小量的是（ C ）

11

A．sinx

x B．(1x)x C．x3sin1

x D．sin1

x

14．曲线yx33x在点（2，2）处的法线方程为（ B ）

A．y21

9(x2) B．y1

9x20

9

C．y1

9x2

9 D．y29(x2)

xn

15．limxex（n为自然数，0）的极限是（ C ）

A．1 B．不存在 C．0 D．1

n

16．f(x)sinx在x0处的导数是（ C ）

A．0 B．2 C．不存在 D．1

17．当n时比1

n2低价无穷小的应是以下中的（ B ）

5

A．sin1

n2 B．n3 C．1

n2n3 D．n

18．下列函数中不是初等函数的有（ B ）

A．yxsinx B．ylog(x21)x D．不是对称图形

C．yarcsinx2cosx

19．limxsin

A．0 2 D．sinx xx02sin3x（ B ） xxB．3 C．5 D．2

20．函数f(x)xx在[0, 3]上满足罗尔定理的（ D ）

A．0

二、填空题（每小题4分，共20分）

21．曲线xt, y2t在t1对应点处的切线方程是。 B．3 C．3 2D．2

2．设xarcsin(t1)dy ，则2dxy2tt

x3．函数yex1的单调减少区间是 (-无穷大,0) 。

4．函数yxx1在[0, 1]上满足拉格朗日中值定理的全部条件，则使结论成立的 2

xa5．已知lim4，则a1n2 xxa

三、解答题（每小题8分，共40分）

1．证明不等式：当x0时，ln(1x)

证：令f(x)1xln1xarctgx， x1arctgx 1x

1x2

则f(x)ln1x1-ln1x022 1x1x

f(x)f(0)即1xln1xarctgx0

2．设f(x)在[0, 2a]上连续且f(0)f(2a)，试证明至少有一点[0,a]使得

f()f(a)。

证：令kxfxfxa

则k0f0fa,kafaf2a

若f0fa则取 0或a

若f0fa则k0.ka0

故存在0，a使k0即ffa.

1d2y3．求由方程xysiny0所确立的隐函数y的二阶导数。 22dx

dy1dy2d2y4sinycosy.0，y 解：两边对x求导1-， 32dx2dx2cosydx2cosy

xsin

4．求极限limx043sinx1 。

1

3 解：原式=lim.x.

x0x1.sin0 sinxx

5．若f(x)在[a, b]连续，ax1x2xnb则在[x1,xn]上存在使

f()f(x1)f(x2)f(xn)。 n

证：设m, M分别是fx在x1，xn上的最小，最大值，则mfxiM

fx 从而 m.nfxMn即mM ni

i

i1n

n 由介值定理，存在xi,xn使ffi1

xi n

中山大学高等数学一作业答案篇二

中大2016下半年高等数学(一)第二次作业

一、求不定积分（每小题7分共35分）

（1）dx

x22x2

dxdx22axb

x22x2=(x1)2=4acb24acb2c

=22x2

412224c = arctan(x1)c

（2）x

23x2dx

设=23x2则-6xdx即1

6duxdx

1

x12

2

23x2dx=u(16)du=1u

61c

2

11

=11

3u2c=3(23x2)2c

=2sinxc

（3）cosx

xdx

设x= d=1

2xdx即2d=dx

x

cosxxdx=2cosd=2sinc

（4）1x

xxdx

=1

x1

xdx

=2(115

)2

5x

（5）lnxdx

lnxdx=xlnxxc

二、求定积分（每小题7分共14分）



（1））2

0osc5xnisdx



=25

0cosxd(cos)

x

=16

6cosx2

=1

6cos601

6cos6({中山大学高等数学一作业答案}.

2)

=1

60

=1

6

（2）1x

0edx

令xt 则xt2 dx=2tdt 且当x=0时，t=0，当x=1时，x=1

1

exdx=21tetdt=21

000tdet

=2([tet]011etdt)1

0=2(e[et]0)

=2[e(e1)]=2

三、求广义积分（8分）1

exlnxdx

1exlnxdx

=dmx

lnx=lnmx

ee 设ylnx

=1y

1ydy=ln1

=

四、求曲线yx与y1及y102x所围成的平面图形的面积（14分） y12x

解

yx

x102x

2xx100

b24ac1421081

x=1

22=19{中山大学高等数学一作业答案}.

4

x=2或5

2

x4或25

4

A1=4

1xx)dx

3

=(2

3x2x)4

1

3

=2

3424(2

31)

=2

3841

3

=5

3

SA1A2

=51

32(9

24)1

=51

34

=23

12

2五、计算曲线yx2上相应于0x1的一段弧长。（14分） 3

3

1

解：y1x2 弧长元素dx(x)2dxxdx 弧长为=1xdx=3

023(1x)2



23

=222

3223=3223

=42

32

3

六、已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7)，求三角形（15分）

解：

AB222222

AC2224221

BC(1)202225

222

cosA=ABACBC

2ABAC =12215

221=7

3

S1

0=ABACsinA2

=2121

32

=62

6

=

ABC的面积

中山大学高等数学一作业答案篇三

高等数学作业及答案 精品

微分方程作业1

1．设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x,y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L过点(1,0).求曲线L所满足的微分方程.

yxy，y|x10]

uxx

将方程ycosx2ysinx3ycosxe化简.[u4ue] cosx

2

3．验证由方程yln(xy)所确定的函数为微分方程(xyx)yxyyy2y0的解.

2．利用代换y

微分方程作业2

1．求下列微分方程的通解或特解：

（1）yycosx0；[y(sinxC)] （2）(x1)yxy，y|x01；

[y

x

21

2

（3）cosydx(1e)sinydy0，y|x0



4

2．一曲线上任意一点处的法线都过原点，且点(2,2)在该曲线上，求这一曲线的方程. 22

[xy8]

3．假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差. 若室温为20c时，一物体由100c冷却到60c须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的100c降低到30c.[60分钟]

微分方程作业3

1．求下列微分方程的通解或特解： （1）yycosxe

sinx

.[cosy

x

e1)] 4

000

00

；[ye

3

sinx

(xC)]

3

（2）(x2)yy2(x2)；[y(x2)C(x2)]

dyysinx1

，y|x1. [y(1cosx)] 

dxxxx

2．已知某曲线经过点(1,1)，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程. [yx(1lnx)]

（3）

3．设可导函数f(x)满足f(x)cosx2[f(x)sinxcosx]

微分方程作业4

1．求下列微分方程的通解或特解： （1）y4y0；[yC1C2e] （2）y6y13y0；[ye

3x



x0

f(t)sintdtx1，求f(x).

4x

(C1cos2xC2sin2x)]

x

x

（3）y2yy0，y|x02，y|x03. [y2exe]

2．设圆柱形浮筒，直径为0.5m，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s，求浮筒的质量.[约195kg]

微分方程作业5

1．求下列微分方程的通解或特解：

（1）2y3yyx6x4；[yC1eC2e

x

2x

2xx/2

x2]

x2

3

（2）y4y5y2e；[ye(C1cosxC2sinx)e] （3）y6y9y(6x4)e；[ye(C1C2x2xx)] （4）yy4xe,y(0)0,y(0)1.[y(xx1)ee]

x

2

x

x{中山大学高等数学一作业答案}.

3x

3x

2．设函数f(x)连续，且满足f(x)2ex[f(x)cosxsinxe]

x



x0

tf(t)dtxf(t)dt，求f(x).

x

2x

x

3．已知y1xee，y2xee，y3xee

x2xxx

ex是某二阶常系数非齐次线性微

x

分方程的三个解，求此微分方程.[yy2y(12x)e]

无穷级数作业1

1．判别下列级数的收敛性：



3nn1112（1）(（2

）(；（3）n(1cos)；（4）. n)；n

(n1)2n2nn1n1n1n1



11

2．设级数un的部分和为sn，求级数的一般项un及和s. 

n1nnn1

11

[un；sln2] 

2n12n



3．已知limnun0，级数

n

(n1)(u

n1



n1

un)收敛，证明级数un也收敛.

n1



无穷级数作业2

1．用比较审敛法或其极限形式判别下列级数的收敛性：



cos2nn2

（1）2；（2）；（3）；（4）； sinsin2n

n22nn1n1n12n3n1



（5

）

n1





11

)；（6）(a0). n

nn11a

2．若级数

a

n1



2

n

及

b

n1



2n

都收敛，证明级数

(a

n1



n

bn)2也收敛.

3．设anbncn，若级数



a

n1



n

及

c

n1



n

都收敛，证明级数

b

n1



n

也收敛.

4．判别下列级数的收敛性：



n3nn2n232n12n

)（1）n；（2）；（3）n!()；（4）(2；

2n!3n2nn1n1n1n1

1n1n21n

（5）n(（6）(a)(a0). )；

nnn13n1

5．判别下列级数是绝对收敛，条件收敛，还是发散？ （1

）

(1)

n1



n（2）

n1





(1)nlnn(2)n(1)n1

；（3）；（4）. 2

n2nnlnnn1n1

无穷级数作业3

1．求下列幂级数的收敛域：



(1)n2n1n2n12n

x；x；（1）（2）（3

）. n

4n02n1n1n0

[（1）(2,2)；（2）[1,1]；（3）[4,6)]



2．求下列幂级数的和函数： （1）



n1



n(x1)n；[s(x)

x1

，x(0,2)] 2

(2x)

（2）（3）



n0





n1



(1)n2n1

；[s(x)arctanx，x[1,1]] x

2n1

2x

，x(1,1)] n(n1)xn. [s(x)3

(1x)

无穷级数作业4

1．将下列函数展开成x的幂级数： （1）ln(ax)(a0)；[lna（2）2；[

x



n1



(1)n1n

x，axa] n

na



n0



lnn2n

x，x] n!



(1)nn

x，1x1] （3）(1x)ln(1x).[xn(n1)n2

2．将下列函数f(x)展开成(x1)的幂级数：



11n

(1) f(x)2；[(1n1)(x1)，0x2]

2x5x6n0



1nn1

(2) f(x).[，1x3] (x1)n12

(3x)n12



1．把ABC的BC边三等分，设分点依次为D1、D2. 试以向量ABc、ACb表示向

2112

量AD1和AD2.[AD1cb，AD2cb]

2．在y轴上求与点A(1,3,7)和点B(5,7,5)等距离的点.[(0,2,0)]



3．已知模为26的向径OA与向量a(3,4,12)同向，求点A的坐标.[(6,8,24)]



4

．已知两点A和B(3,0,2)，求与向量AB平行的单位向量及向量AB的方向角.

[

单位向量：(,

空间解析几何作业1

12123)；方向角：、、] 22343

空间解析几何作业2



1．已知AB(1,1,0)，AC(1,0,1)，求BAC、ABAC和ABC的面积.

[/3；(1,1,

1)2]



r14，2．设a(2,3,1)，b(1,2,3)，c(2,1,2)，向量r满足ra，rb，Prjc



求r.[(14,10,2)]{中山大学高等数学一作业答案}.



3．设ABC的三边长分别为2,3,4，求ABBCBCCACAAB.[-14.5]



4．设|a|4，|b|3，(a,b)，求以a2b和a3b为边的平行四边形的面积.[30]

6



5．设a3b7a5b，a4b7a2b，求(a,b).[/3]

空间解析几何作业3

1．已知三点A(1,1,1)、B(2,2,2)和C(1,1,2)，求过ABC的重心且与ABC垂直

x3y2z1

] 

192

xy4z3

2．用参数方程表示直线.[x1t,y23t,zt]

2xyz0

的直线方程.[

x2y4z0

垂直的平面方程.[16x14y11z450]

3x5y2z0

x4y3z

4．求过点(3,1,2)且通过直线的平面方程.[8x9y22z590]

521

x1y3z

5．求过点(1,0,4)，且平行于平面3x4yz10，又与直线相交的直

112

x1yz4

线方程.[] 

161928

3．求过点(1,2,3)且与直线

空间解析几何作业4

1．求与坐标原点O及点(2,3,4)的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？[曲面方程：3x3y3z4x6y8z290；它表示一球面，球

2

2

2

243322

2．设有xOy平面上的一条双曲线4x9y36. 若将这一双曲线绕x轴旋转一周，则生成一个旋转 叶双曲面，其方程是 ；若将这一双曲线绕y轴旋转一周，则生成

心为点(,1,

)一个旋转 叶双曲面，其方程是 . 3．下列方程表示什么曲面？画出其图形：

（1）z44x2y；（2）xy4z4；（3）zy；（4）zxy(x0,y0).

空间解析几何作业5

2

2

2

2

2

2

2x2y2z216

1．分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线2的柱面方程. 22

xzy0

2．画出下列各曲面所围立体的图形，并求立体在xOy面上的投影区域：

（1

）z

2

z6x2y2；[x2y24]

2

2

2

（2）z2x,zx2y；[xy1]

（3）x1z,y0,z0,xy1；[1x1，0y1x]

（4）x0,y0,z0,x1,2xy4,z4x.[0x1，0y42x.]

多元函数微分学作业1

1．求下列函数的定义域，并画出其图形： （1

）zln(yx)（2

）z

2

22

2

arcsin(x2y2)；

（3

）zln(xarccos(x1).

2．计算下列极限：

[1/8]

(x,y)(0,2)1cosxy

（2）lim；[2]

(x,y)(0,4)ln(1x2y)

（1

）

lim

（3

）

(x,y)lim

多元函数微分学作业2

1．求下列函数的偏导数：

（1）zxsin

yy；（2

）z；（3）z(1xy). x

2．求下列函数的二阶偏导数：

y；（2

）zx

2

3

．设f(x,y)x(y1)fx(x,1).

（1）zarctan

2u2u4．设函数uf(r)二阶可导，且满足方程224，其中rf(r).

x

y

2

[f(r)rC1lnrC2]

多元函数微分学作业3

1．求下列函数的全微分： （1）zxy2．求函数z

x；（2

）zy

；（3）zx.

y

y

当x2，y1，x0.1，y0.2时的全增量和全微分. x

[z0.119，dz0.125]

3

.[2.95]

zz

y22x，2xy3，且z(0,0)0，求zf(x,y)的表达式.

yx

22

[zxyx3y]

4．已知

多元函数微分学作业4

1．设zu，u2x3y，vxy，求

2

v

z. x

2．求zf(xy,2x3y)的一、二阶偏导数.

2222432

3．已知f(x,x)x2xx，f1(x,x)2x2x1，求f2(x,x).[2x2x1]

ux2y2z2z2z2z

0简化为0，求常数a.[3] 4．设变换可把方程622

vxayxyxyuv

uu

5．设zf(x,y)具有二阶连续偏导数，xecosv，yesinv，试证：

2

2z2z2z2uz2e(22). 2uvxy

多元函数微分学作业5

1．设

xzzz

ln，求、. zyxy

2

．设x2yz0，求dz.

2z3．设z3xyza，求.

xy

f1yzf2z

4．设zf(xyz,xyz)，求.[]

x1f1xyf2

zz

5．设F(u,v)具有连续偏导数，证明由方程F(x,y)0所确定的函数zf(x,y)

yx

3

3

中山大学高等数学一作业答案篇四

0917《高等数学》作业答案

《高等数学》第一批次作业

一、选择题

fx与limfx都存在是limfx存在的（ B ）. 1．limxx0xx0xx0

A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件

2．若数列xn有界，则xn必（ C ）.

A. 收敛 B. 发散 C. 可能收敛可能发散 D. 收敛于零

x213．lim2（ C ）. x1xx2

A. 0 B. 223 C. D. 323

'4．若在区间a,b内，fx是单调增函数，则f

A. 0 B. 0 C. 0 D. 0

5．xdyydx0的通解是（ A ）.

A. yCx B. yx