快速阅读法 点击: 2012-11-29
西南大学网教2015秋季[9102]《高等数学》A劵大作业答案
2016年6月西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷经济数学上(0177)
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经济数学(上)【0177】西南大学奥鹏2016年6月考试卷及参考答案
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(9)泰勒级数法 (10)其他特殊方法。{2017西南大学网教经济数学大作业}.
若求一个极限,一般的思路步骤流程图如下:
牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。
下面就是该公式的证明全过程:
对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为:b∫a*f(x)dx
现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数:Φ(x)= x∫a*f(x)dx 但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动,我们把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了:Φ(x)= x∫a*f(t)dt 研究这个函数Φ(x)的性质:
(1)定义函数Φ(x)= x(上限)∫a(下限)f(t)dt,则Φ 与格林公式和高斯公式的联系 '(x)=f(x)。 证明:让函数Φ(x)获得增量Δx,则对应的函数增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt
显然,x+Δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt 而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)·Δx
当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x){2017西南大学网教经济数学大作业}.
可见这也是导数的定义,所以最后得出Φ'(x)=f(x)。
(2)b(上限)∫a(下限)f(x)dx=F(b)-F(a),F(x)是f(x)的原函数。 证明:我们已证得Φ'(x)=f(x),故Φ(x)+C=F(x)
但Φ(a)=0(积分区间变为[a,a],故面积为0),所以F(a)=C 于是有Φ(x)+F(a)=F(x),当x=b时,Φ(b)=F(b)-F(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt,所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=F(b)-F(a)
2、为何把定积分的牛顿——莱布尼兹公式称为“微积分学基本定理”,它有何重大意义? 参考答案:
若函数f(x)在[a,b]上连续,且存在原函数F(x),则f(x)在[a,b]上可积, 且
这即为牛顿-莱布尼茨公式。
把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。{2017西南大学网教经济数学大作业}.
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