《离散数学》作业手写体

《离散数学》作业手写体篇一

离散数学作业

不足之处请订正。。。。。。

常用符号：x y x y F(x) G(y) H(x,y)

  

①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩

1.在一阶逻辑中将下列命题符号化。

（1）没有不能表示成分数的有理数

（2）在北京买菜的人不全是外地人

（3）乌鸦都是黑色的

答：（１）F（x）：X能表示成分数 Ｈ（x）：X能表示有理数 x(F(x)H(x))

（）Ｆ（Ｘ）：ｘ是北京卖菜的人 Ｈ（Ｘ）：ｘ是外地人 x(F(x)H(x))

（）Ｆ（Ｘ）：ｘ是乌鸦 Ｈ（Ｘ）：ｘ是黑色的X(F(X)H(X))



2.下面哪个公式可以解释成命题（提示，只有闭公式才可以解释为命题）

答：（2）（3）

3.将下列命题符号化，并写出其前束范式

答：x(F(x)yG(y)H(x,y))

前束范式：xy(F(X)(G(y)H(x,y)))

（2） y(G(y)x(F(x)H(x,y)))

(G(y)F(x)H(y, x) yx

（3）y(G(y)x(F(x)H(y,x)))

(yx(G(y)x(F(x)H(y,x)))

（4）y(G(y)x(F(x)H(y,x)))

(yx(G(y)x(F(x)H(y,x)))

4.消去下面公式的量词,D={a,1,2}

(1) xF(x)→yG(y)

(2) xy(F(x)→G(y))

答：（1）(F(a)F(1)F(2))(G(a)G(1)G(2))

（2）(F(a)F(1)F(2))(G(a)G(1)G(2))

5.用自然演绎推理证明下列推论的正确性。

前提 x(F(x)G(x)),x(G(x)H(x)),xH(x) 结论 xF(x)

１ xH(x) 前提引入

２ H(c)

3

4 １UI x(G(x)H(x)) 前提引入 G(c)H(c) 3UI

5 G(c) 2 4析取三段论

6 x(F(x)G(x)) 前提引入

7 F(c)G(c) 6UI

8 F(c) 57拒取式{《离散数学》作业手写体}.

9 xF(x) 8UG

《离散数学》作业手写体篇二

大学离散数学作业答案

12014241708 兰亚伟 计混一班

19. 用真值表判断下列公式的类型。

（2）（p p） 解 公式的真值表是



q.

由上式可得公式的类型是可满足式。

（3） （q r） r. 解 公式的真值表是：

由上式的公式的类型为矛盾式。

（6）（（p q） (q r) (p r). 解 公式的真值表是：

由上式的公式的类型为永真式。

27.设A,B都是含命题变向p1,p2,……pn的公式，证明：A B是重言式当且仅当A与B都是重言式， 证明：（1）、充分性； ∵A ˄ B是重言式

∴A ˄ B的真值为1，且所有可能的赋值共有2n个。 ∴由合取式定义得，A的真值为1，B的真值也为1，且在A ˄ B所有可能的2n个赋值下，A与B的真值都为1 ∴A与B都为重言式。

（2）、必要性：已知A与B都是含命题变项P1，P2，…P n{《离散数学》作业手写体}.

重言式。

∴在A与B所有可能的2n个赋值下，A与B的真值都为1

∴A ˄ B在命题变项P1，P2，…P n所有可能的2n个赋值下的真值也为1 ∴A ˄ B是重言式。

28、设A、B都是含命题变项P1，P2，…P n的公式，已知A ˄ B是矛盾式，能得出A与B都是矛盾式的结论吗？为什么？

解 A、B、A ˄ B的真值表如下所示：

由真值表可以得出当A ˄ B的真值为0时所对应的A与B真值有三种情况，分别是00、01、10。

∴已知A ˄ B是矛盾式，不能得出A与B都是矛盾式的结论

《离散数学》作业手写体篇三

离散数学大作业答案

一、简要回答下列问题：（每小题3分，共30分）

1．请给出集合的结合率。

答：结合律(AUB)UC=AU(BUC)x∈(AUB)UC，即 x∈AUB 或 x∈C即 x∈A 或 x∈B 或 x∈C即 x∈A 或 x∈B∪C即 x∈AU(BUC)说明 (AUB)UC包含于AU(BUC)同理可证AU(BUC)包含于(AUB)UC所以(AUB)UC=AU(BUC)

2．请给出一个集合A，并给出A上既不具有自反性，又不具有反自反性的关系。

3．设A={1，2}，问A上共有多少个不同的对称关系？ 答：不同的对称关系有：8种 R = Φ R = {<1,1>} R = {<2,2>}

R = {<1,1>,<2,2>} R = {<1,2>,<2,1>}

R = {<1,1>,<1,2>,<2,1>} R = {<1,2>,<2,1>,<2,2>}

R = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}

4．设A={1，2，3，4，5，6}，R是A上的整除关系，M={2,3}，求M的上界，下界。

5．关于P，Q，R请给出使极小项m0，m4为真的解释。 答：m0= ┐p∧┐q∧┐r m4 = p∧┐q∧┐r

6．什么是图中的简单路？请举一例。

答：图的通路中，所有边e1,e2,…,ek互不相同，称为简单通路。

7．什么是交换群，请举一例。

答：如果群〈G，*〉中的运算*是可以交换的，则称该群为可交换群，或称阿贝尔群。 如〈I，+〉是交换群。

8．什么是群中右模H合同关系？

答：设G是群，H是G的子群，a,b∈G，若有h∈H， 使得a =bh，则称a合同于b（右模H），记为a≡b（右mod H）。

9．什么是有壹环？请举一例。

答：幺元：如果A中的一个元素e，它既是左幺元又是右幺元，则称e为A中关于运算☆的幺元。

显然，对任一x ∈ A，有 e ☆ x = x ☆ e = x 环

设<A ,△,☆>是具有两个二元运算△ 和*的代数系统，如果适合: ① <A ,△>是交换群(阿贝尔群)； ② <A,☆> 是半群；

③运算☆对运算△是可分配的，即：

a ☆ (b △ c) = (a ☆ b) △ (a ☆ c) (b △ c) ☆ a = (b ☆ a) △ (c ☆ a) 则称<A,△,☆>是环。

含幺环：

如果<A,☆>是独异点(或含幺半群)，则称<A,△,☆>是含幺环。

设 V=<A,☆>是半群，如果V中有幺元存在，则称V为含幺半群，也称为独异点。

设V=<A,☆>是代数系统，☆是非空集合A上的二元运算，如果☆是可结合的，即对任意的x,y,z∈A,有

(x☆y)☆z = x☆(y☆z) 则称V为半群。

10．什么是极大理想？请举一例。 答：一个环R的一个不等于的理想I叫做一个最大理想，假如除了R同I自己外没有包含A的理想。

二、（12分）R，S是集合A上的两个关系。试证明下列等式：

（1）(R•S)-1= S-1•R-1

-1-1-1-1

证明：先证(R•S) S•R，对任意(x，y) (R•S)，则(y，x) (R•S)，则存在aA，满足

-1-1-1-1-1-1{《离散数学》作业手写体}.

(y，a) R且(a，x) S，那么(x，a) S且(a，y) R，所以(x，y)  S•R，因此(R•S) S-1-1-1-1-1-1-1

•R；再证S•R (R•S)，对任意(x，y)  S•R，则存在aA，满足(x，a) S且(a，y) -1-1-1-1R，所以(y，a) R且(a，x) S，所以(y，x) (R•S)，所以(x，y) (R•S)，因此S•R (R-1

•S)。

（2）(R-1)-1= R

-1-1-1-1-1-1-1

证明：先证(R) R，对任意(x，y) (R)，则(y，x)  R，则(x，y)  R，所以(R) R；

-1-1-1-1-1-1-1-1-1

再证R (R)，对任意(x，y)  R，则(y，x)  R，则(x，y) (R)，所以R (R)。故(R)= R得证。

三、（20分）指出下列公式哪些是恒真的哪些是恒假的：

解：(1)P（P Q）Q是恒真的Q）， (2)（P Q）（P是恒真的，

(3)（P Q） （QR）（P R ）是恒真的， (4)（P Q）（P QP Q）是可满足的。

四、（18分）指出下列表达式中的自由变量和约束变量，并指明量词的作用域：

（1）(xP(x)xQ(x))(xP(x)Q(y)) （2）xy((P(x)Q(y))zR(z)) （3）A(z)(xyB(x，y，a)) （4）x A(x)yB(x，y)

（5）(xF(x)yG(x，y，z))zH(x，y，z)

答：（1）(∀xP(x)∧∃xQ(x))∨(∀xP(x)→Q(y))3个x都是约束变量，y为自由变量第一个∀x的作用域是第一个P(x)第2个∀x的作用域是第2个P(x)∃x的作用域是Q(x) （2）x,y,z都是约束变量

（3）x,y是约束变量，z为自由变量

（4）A(x)中的x是约束变量，B(x,y)中的x是自由变量，y是约束变量

（5）F(x)中的x是约束变量 G(x,y,z)中的y是约束变量，x,z是自由变量 H(x,y,z)中的z是约束变量，x,y是自由变量。

五、（20分）一公司在六个城市c1，c2，…，c6中的每一个都有分公司。从ci到cj的班机

旅费由下列矩阵中的第i行第j列元素给出(表示没有直接班机)：

0 50  40 25 10 50 0 15 20  25  15 0 10 20  40 20 10 0 10 25

25  20 10 0 55 10 25  25 55 0

公司所关心的是计算两城市间的最便宜路线的表格。请准备一张这样的表格。

《离散数学》作业手写体篇四

2014离散数学作业3答案{《离散数学》作业手写体}.

离散数学作业3

离散数学集合论部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。

要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第11周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。

一、填空题 1．设集合A{1,2,3},B{1,2}，则P(A)-P(B A B．

2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为．

3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系，

R{x,yxA且yB且x,yAB} 则R的有序对集合为 {<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>} ．

4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}， A到B的二元关系

R＝{x,yy2x,xA,yB}

那么R－1＝{<6,3>,<8,4>} 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>}，则R具有的性质是 没有任何性质 ．

6．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={<a, a >, <b, b>, <b, c>, <c, d>}，若在R中再增加两个元素 {<c,b>,<d,c>} ，则新得到的关系就具有对称性． 7．如果R1和R2是A上的自反关系，则R1∪R2，R1∩R2，R1-R2中自反关系有 2 个．

8．设A={1, 2}上的二元关系为R={<x, y>|xA，yA, x+y =10}，则R的自反闭包为 {<1,1>,<2,2>} ．

9．设R是集合A上的等价关系，且1 , 2 , 3是A中的元素，则R中至少包含 <1,1>,<2,2>,<3,3> 等元素．

10．设集合A={1, 2}，B={a, b}，那么集合A到B的双射函数是或{<1,b>,<2,a>} ．

二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．若集合A = {1，2，3}上的二元关系R={<1, 1>，<2, 2>，<1, 2>}，则 (1) R是自反的关系； (2) R是对称的关系． 解：（1）错误。R不具有自反的关系，因为<3,3>不属于R。

（2）错误。R不具有对称的关系，因为<2,1>不属于R。

2．如果R1和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-11、R1∪R2、R1∩R2是自反的” 是否成立？并说明理由． 解：成立。

因为R1和 R2是A上的自反关系，即IAR1，IAR2。 由逆关系定义和IAR1，得IA R1-1；

由IAR1，IAR2，得IA R1∪R2，IA R1R2。

所以，R1-1、R1∪R2、R1R2是自反的。

a 3．若偏序集<A，R>的哈斯图如图一所示，

b c g

则集合A的最大元为a，最小元不存在． 解：错误。

集合A的最大元不存在，a是极大元。

4．设集合A={1, 2, 3, 4}，B={2, 4, 6, 8}，，判断下列关系f是否构成函数f：AB，并说明理由．

(1) f={<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>}； (2)f={<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>}； (3) f={<1, 8>, <2, 6>, <3, 4>, <4, 2,>}．

解：（1）不构成函数。因为对于3属于A，在B中没有元素与之对应。

（2）不构成函数。因为对于4属于A，在B中没有元素与之对应。 （3）构成函数。因为A中任意一个元素都有A中唯一的元素相对应。

三、计算题

1．设E{1,2,3,4,5},A{1,4},B{1,2,5},C{2,4}，求：

(1) (AB)~C； (2) (AB)- (BA) (3) P(A)－P(C)； (4) AB．

解：（1）(AB)~C={1}{1,3,5}{1,3,5}

（2）(AB)- (BA)={1，2,4,5}-{1}={2,4,5}

（3）P(A)P(C){,{1},{4},{1,4}}{,{2},{4},{2,4}}{{1},{1,4}} （4）AB =(AB)－（AB）={1,2,4,5}{1}{2,4,5}

2．设A={{1},{2},1,2}，B={1,2,{1,2}}，试计算

（1）（AB）； （2）（A∩B）； （3）A×B．

解：（1）AB ={{1},{2}}

（2）A∩B ={1,2} （3）A×B={<{1},1>，<{1},2>，<{1},{1,2}>，<{2},1>，<{2},2>，<{2},{1,2}>，<1,1>，<1,2>，<1, {1,2}>，<2,1>，<2,2>,<2, {1,2}>}

3．设A={1，2，3，4，5}，R={<x，y>|xA，yA且x+y4}，S={<x，y>|xA，yA且x+y<0}，试求R，S，RS，SR，R-1，S-1，r(S)，s(R)．

解：R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}

S=空集 RS=空集 SR=空集

R-1={<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2>,<2,2>,<1,3>} S-1 =空集

r(S)={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}

s(R)={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>}

4．设A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，R是A上的整除关系，B={2, 4, 6}． (1) 写出关系R的表示式； (2 )画出关系R的哈斯图； (3) 求出集合B的最大元、最小元．

解

(1)R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>}

(3)集合B没有最大元，最小元是2

四、证明题

1．试证明集合等式：A (BC)=(AB)  (AC)． 证明：设，若x∈A (BC)，则x∈A或x∈BC，

即 x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C． 即x∈AB 且 x∈AC ， 即 x∈T=(AB)  (AC)，

所以A (BC) (AB)  (AC)．

反之，若x∈(AB)  (AC)，则x∈AB 且 x∈AC， 即x∈A或x∈B 且 x∈A或x∈C，

即x∈A或x∈BC， 即x∈A (BC)，

所以(AB)  (AC) A (BC)． 因此．A (BC)=(AB)  (AC)．

2．试证明集合等式A (BC)=(AB)  (AC)．

证明：设S=A∩(B∪C)，T=(A∩B)∪(A∩C)， 若x∈S，则x∈A且x∈B∪C，即 x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C，

也即x∈A∩B 或 x∈A∩C ，即 x∈T，所以ST． 反之，若x∈T，则x∈A∩B 或 x∈A∩C， 即x∈A且x∈B 或 x∈A且x∈C

也即x∈A且x∈B∪C，即x∈S，所以TS． 因此T=S．

《离散数学》作业手写体篇五

2016《离散数学》第1次作业

《离散数学》第1次作业

一、填空题

1. 若|A|m,|B|n，则|AB|( mn )，A到B的2元关系共有(

2元关系共有( mn 2)个，A上的2 )个. m2

2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3,

1)}，则( g )是单射，( g )是满射，( g )是双射.{《离散数学》作业手写体}.

3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( （1）（2）（4） )(选择正确答案的番号).

(1)p(pq)q；

(2)p(pq)；

(3)p(pq)；

(4)p(pq)q；

(5)(pq)q.

4. 设D24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( 8 )，4的补元( 不存在 )，6的补元( 不存在 ).

5. 设G是(7, 15)简单平面图，则G一定是( 连线 )图，且其每个面恰由( 3 )条边围成，G的面数为( 10 ).

二、单选题

1. 设A, B, C是集合，则下述论断正确的是( C ).

(A)若A  B， B  C，则A  C. (B)若A  B， B  C，则A  C.

(C)若A  B， B  C，则A  C. (D)若A  B， B  C，则A  C.

2. 设R  A  A，S  A  A，则下述结论正确的是( A ).

(A)若R和S是自反的，则R  S是自反的.

(B)若R和S是对称的，则RS是对称的.

(C)若R和S是反对称的，则RS是反对称的.

(D)若R和S是传递的，则R  S是传递的.

3.在谓词逻辑中，下列各式中不正确的是( B ).

(A)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)

(B)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)

(C)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)

(D)xyA(x,y)yxA(x,y)

4. 域与整环的关系为( A ).

(A)整环是域 (B)域是整环 (C)整环不是域 (D) 域不是整环

5.设G是(n, m)图，且G中每个节点的度数不是k就是k + 1，则G中度数为k的节点个数为( D ). (A)n. (B)n(n + 1). (C)nk. (D)n(k1)2m. 2

三、设A和B是集合，使下列各式(1)ABA； (2)ABBA；

(3)(AB)(BA)A成立的充要条件是什么，并给出理由.

证：

1、显然，AB=A 2、可以证明：A-B=B-A ()当A = B时，A–B = 且B–A = , 于是A-B=B-A.

()假定A-B=B-A，先证明A: 对于任意x，若xB，则x，进而x，根据差运算定义知x，与xB矛盾. 所以x，因此. 同理可证. 故A = B.

3、容易证明:(A-B)(B-A)=A

()显然.

()(反证)若B，则存在x. 分两种情况讨论：若xA，则x，由于(A-B)(B-A)=A，于是x，矛盾；若x，则xA-B且xA, 进而 xA，矛盾. 证毕.

四、设S是实数集合R上的关系，其定义如下

S{(x,y)|x,yR且是

证明: S是R上的等价关系. xy是整数}， 3

证：

1. 对于任意xR,因为

系

2.对于任意x,yR, 若(x,y)S，则

是(y,x)S. xyyxxy是整数，而=-也是整数，于333xx=0是整数，所以（x，x）S，即S是R上的自反关3

3.对于任意x,y,zR,若(x,y)S且(y,z)S,则

于xyyz是整数且是整数，由33xzxyyz是整数，由此得出(x.z)S.综上所述，知S是R上的等价333

关系

五、求谓词公式xA(x)(B(y)(yC(y)xD(x)))的前束范式.

解：

xA(x)(B(y)(yC(y)xD(x)))

=xA(x)(B(y)(yC(y)xD(x)))

=xA(x)(B(y)(yC(y)xD(x)))

=xA(x)(B(y)(yC(y)xD(x)))

=xA(x)(B(y)(yC(y)xD(x)))

=xA(x)(B(y)(yC(y)xD(x)))

=xA(x)(B(t)(yC(y)zD(z)))

=x(A(x)(B(t)(yC(y)zD(z)))

=xy(A(x)(B(t)(C(y)zD(z)))

=xyz(A(x)B(t)(C(y)D(z))).

六、若n个人，每个人恰有3个朋友，则n必为偶数，试证明之.

证：用n个节点代表n个人，两个人是朋友则在相应的两个节点之间连一条无向边，于是的到一个n阶图，其中每个节点的度数均为3.

由于每个节点度数为3，根据握手定理知

是n必为偶数。证毕。

deg(v)3n2m，其中m为G点的边数，于vV

《离散数学》作业手写体篇六

离散数学作业答案

第一章

1. 假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。

试求：

P()

P(P())

P(P(P()))

2. (1) (2) (3)

3. 在1200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个，

能被15整除的有13个，

∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有

66-13+40-13=80个。

第三章

1.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) 下列语句是命题吗？ 2是正数吗？ x2+x+1=0。 我要上学。 明年2月1日下雨。 如果股票涨了，那么我就赚钱。

2. 请用自然语言表达命题(pr)(qr)，其中p、q、r为如下命题：

p：你得流感了

q：你错过了最后的考试

r：这门课你通过了

3. 通过真值表求p(p(qp))的主析取范式和主合取范式。

4. 给出p(qs),q,prrs的形式证明。

第四章

1. 将x(C(x)y(C(y)F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同

班同学，个体域是学校全体学生的集合。

解：

学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。

2. 构造x(P(x)Q(x)),x(Q(x)R(x)),xR(x)xP(x)的形式证明。

解：

①xR(x) 前提引入

②R(e) ①US规则

③x(Q(x)R(x)) 前提引入

④Q(e) R(e) ③US规则

⑤Q (e) ②④析取三段论

⑥x(P(x)Q(x)) 前提引入

⑦ P(e) Q(e) ⑥US规则

⑧ P(e) ⑤⑦析取三段论

⑨ x (P(x)) ⑧EG规则

第五章

1. 设R、S、T都是X上的关系。证明：R(S∩T)(RS)∩(RT)，(R∩S)T(RT)∩(ST)。

2. 设X是所有人组成的集合，定义X上的关系R1和R2：aR1b当且仅当a比b高，aR2b

当且仅当a和b有共同的祖父母。问关系R1和R2是否是自反、反自反、对称、反对称、传递的？

3. 设R1和R2是X上的关系。证明t(R1R2)t(R1)t(R2)。

4. 下列集合关于整除关系构成偏序集。请分别画出它们的哈斯图，判断它们是否是全

序集，给出它们的极大元、极小元、最大元、最小元。

（2）{2,4,8,16}；

（4）{2,3,4,5,9,10,80}。

第六章

1. f：XY，下列命题是否成立？

（1）f是一对一的当且仅当对任意a,bX，当f(a)=f(b)时，必有a=b；

（2）f是一对一的当且仅当对任意a,bX，当f(a)≠f(b)时，必有a≠b。

2. 下图展示了五个关系的关系图。问：这些关系中，哪些是函数？哪些是一对一的函数？

哪些是到上的函数？哪些是一 一对应 ？

第七章

1. 6个学生：Alice、Bob、Carol、Dean、Santos和tom，其中，Alice和Carol不和，Dean

和Carol不和，Santos、Tom和Alice两两不和。请给出表示这种情形的图模型。

2. 设简单无向图G=(V,E)，若δ(G)≥k(k≥1)，则G有长度为k的基本通路。

解：证明：