《高等数学》第1次作业

《高等数学》第1次作业篇一

2015秋《高等数学(理)》第一次作业

一、单项选择题。本大题共40个小题，每小题 2.5 分，共100.0分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.

A. 奇函数 B. 偶函数

C. 非奇非偶函数 D. 以上均不对

2.

A. A B. B

C. C D. D

3.

A. A B. B

C. C D. D

4.

A. A

B. B C. C D. D

5.

A. 垂直

B. 斜交 C. 平行 D. 重合

6. 下列命题正确的是（ ）

A. B. C. D.

7.

A. 绝对收敛

B. 条件收敛 C. 发散 D.

8.

A. 0 B. 1

C. 2 D.

3

9.

A. -1 B. 0 C. 1

D. 不存在

10.

A. 有一条渐近线 B. 有二条渐近线

C. 有三条渐近线 D. 无渐近线

11.

A. 1 B. 2 C. 3

D. 4

12.当X→2时，下列函数中不是无穷小量的是（ ）

A. B.

C.

D.

13.

A. A B. B C. C

D. D

14.

A. A B. B C. C

D. D

15.

A. A B. B

C. C D. D

16.

A. A B. B

C. C D. D

17.

A. A B. B

C. C D. D

18.

A. 0 B. 1 C. 2

D. 3

19.A.

B.

C. 1 D. 2

20.

A. A

《高等数学》第1次作业篇二

高等数学第一次作业答案

《高等数学》（一）作业，内容包括第一、二、三章

一、选择题： １．函数f(x)1ln(x1)的定义域是（ ） x

Ａ．(1,0) Ｂ．(0,)

Ｃ．(1,0)(0,) Ｄ．(,0)(0,)

1

x2．lim(12x)（ ） x0

Ａ．e Ｂ．e Ｃ．e Ｄ．１

3．ysin(x21

34)cos(x)的周期是（ ） 23

Ａ．2 Ｂ．6 Ｃ．4 Ｄ．12

4．设f(x)是奇函数，当x0时，f(x)x(1x)，则x0时，f(x)的解析式是（ ）

Ａ．x(1x) Ｂ．x(1x) Ｃ．x(1x) Ｄ．x(x1)

5．函数yx2，(1x0)的反函数是（ ）

A．yx2 (1x0) B．yx2 (0x1)

C．yx2 (0x1) D．yx2 (1x1)

6．在下列各函数中，表示同一函数的是（ ）

A．yC．yx2与y(x)2 x21x与y B．ysinx与ycos2x 2 D．yln(x2x1)与y2ln(x1) 1

x21x

7．2sinxsin2x, 1cosx, 则当x0时，与的关系是（ ）

A．~ B．是比高阶的无穷小

D． 是比高阶的无穷小 C．,是同阶无穷小

（,0)内与y8．在区间x2x3

是相同函数的是（ ） x

A．x B．x C．x1 D．x1

9．设f(x)x(x1)(x2)(x999)，则f(0)（ ）

A．999 B．999999 C．999! D．-999!

10．若f(x0)存在，则lim

A．f(x0)

11．函数yarcsin

A．[-2, +2] x0f(x02x)f(x0x)（ ） xC．3f(x0) D．4f(x0) B．2f(x0) x11的定义域是（ ） 224xB．[-1, 2] C．[-1, 2] D．(-1, 2)

12．函数y2x2x的图形（ ）

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．不是对称图形

13．当x0时，下列式子是无穷小量的是（ ）

sinxA． x

3 B．(1x) 1xC．xsin131 xD．sin1 x14．曲线yx3x在点（2，2）处的法线方程为（ ）

1(x2) 9

12C．yx 99A．y2B．y120x 99D．y29(x2)

xn

15．limx（n为自然数，0）的极限是（ ） xe

A．1 B．不存在 C．0 D．1 n

16．f(x)sinx在x0处的导数是（ ）

A．0 B．2 C．不存在 D．1

17．当n时比1低价无穷小的应是以下中的（ ） 2n

B．n5

31A．sin2 n C．1 23nnD．n

18．下列函数中不是初等函数的有（ ）

A．yxsinx

2 B．ylog(x21)x D． C．yarcsinx2cosx

19．limxsin

A．0 sinx xx02sin3x（ ） xxB．3 C．5 D．2

20．函数f(x)xx在[0, 3]上满足罗尔定理的（ ）

A．0

二、填空题（每小题4分，共20分）

21．曲线xt, y2t在t1对应点处的切线方程是 B．3 C．3 2D．2

2．设xarcsin(t1)dy。 ，则2dxy2tt

3．函数yexx1的单调减少区间是 。

4．函数yx2x1在[0, 1]上满足拉格朗日中值定理的全部条件，则使结论成立的

xa5．已知lim4，则a xxa

三、解答题（每小题8分，共40分）

1．证明不等式：当x0时，ln(1x)x1arctgx 1x

2．设f(x)在[0, 2a]上连续且f(0)f(2a)，试证明至少有一点[0,a]使得

f()f(a)。

1d2y3．求由方程xysiny0所确立的隐函数y的二阶导数。 2dx2

xsin

4．求极限limx043sinx1 。{《高等数学》第1次作业}.

5．若f(x)在[a, b]连续，ax1x2xnb则在[x1,xn]上存在使

f()f(x1)f(x2)f(xn)。 n

答案：

一、CCDB BCDB DCCC CBCC BBBD

二、1．y = x+1

2．dy1-t dx

1 2

23．(-, 0] 4．5．ln

三、1．证：令 f(x)(1x)ln(1x)arctgx

1x2

ln(1x)0 则 f(x)ln(1x)1221x1x

f(x)f(0 )即 (1x)ln(1x)arctgx0

2．证：令k(x)f(x)f(xa)

则 k(0)f(0)f(a)， k(a)f(a)f(2a)

若f(0)f(a) 则取 0或 a

若 f(0)f(a) 则 k(0)k(a)0

故存在(0,a)使 k()0 即f()f(a) 。

3．解：两边对x求导 1dy1dy2cosy0 y dx2dx2coys

d2y4siny dx2(2cosy)3

4．解：原式＝limxx013x1sin0 sinxx

5．证：设m, M分别是f(x)在[x1,xn]上的最小，最大值，则 mf(xi)M 从而 mni1nf(xi)Mn 即 mf(x)M in由介值定理，存在[x1,xn] 使 f()

i1nf(xi)n

《高等数学》第1次作业篇三

高等数学基础第一次作业[1]

高等数学基础第一次作业

第1章 函数

第2章 极限与连续

（一） 单项选择题

⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. f(x)(x)，g(x)x B. f(x)

32

x

2

，g(x)x

x

2

C. f(x)lnx，g(x)3lnx D. f(x)x1，g(x)

1

x1

分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同

2

A

、f(x)x，定义域x|x0；g(x)x，定义域为R

定义域不同，所以函数不相等； B

、f(x)

x，g(x)x对应法则不同，所以函数不相等；

3

C、f(x)lnx3lnx，定义域为x|x0，g(x)3lnx，定义域为x|x0

所以两个函数相等

D、f(x)x1，定义域为R；g(x)

x1x1

2

x1，定义域为x|xR,x1

定义域不同，所以两函数不等。 故选C

⒉设函数f(x)的定义域为(,)，则函数f(x)f(x)的图形关于（C）对称． A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. yx 分析：奇函数，f(x)f(x)，关于原点对称

偶函数，f(x)f(x)，关于y轴对称

yf

x与它的反函数y

f

1

x关于y

x对称，

奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称

设gxfxfx，则gxfxfxgx 所以gxfxfx为偶函数，即图形关于y轴对称

故选C

⒊下列函数中为奇函数是（B）．

A. yln(1x) B. yxcosx C. y

a

x

2

a2

x

D. yln(1x)

2

2

分析：A、yxln(1x)ln1xyx，为偶函数

B、yxxcosxxcosxyx，为奇函数 或者x为奇函数，cosx为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C、yx

a

x

a2

x

yx，所以为偶函数

D、yxln(1x)，非奇非偶函数 故选B

⒋下列函数中为基本初等函数是（C）． A. yx1 B. yx C. yx

2

D. y

1,1,

x0x0

分析：六种基本初等函数

（1） yc（常值）———常值函数

（2） yx,为常数——幂函数 （3） yaa0,a1———指数函数 （4） ylogaxa0,a1———对数函数

（5） ysinx,ycosx,ytanx,ycotx——三角函数

yarcsinx,1,1,

x



（6） yarccosx,1,1,

yarctanx,yarccotx

——反三角函数

分段函数不是基本初等函数，故D选项不对 对照比较选C

⒌下列极限存计算不正确的是（D）． A. lim

1 B. limln(1x)0 2

x0x2

sinx1

0 D. limxsin0 C. lim

xxxx

x

x

2

分析：A、已知lim

x

1x

n

0n0

x

22

lim

x

x

2

2

x2

lim

x

x

22

xx

B、limln(1x)ln(10)0

x0



2

2

lim

x

11

2x

2



110

1

初等函数在期定义域内是连续的 C、lim

sinxx

lim

x

1x

x

sinx0

x时，

1x

是无穷小量，sinx是有界函数，

无穷小量×有界函数仍是无穷小量 D、limxsin

x

1x

sinlim

x

11x{《高等数学》第1次作业}.

，令t

1x

0,x，则原式lim

t0

sintt

1

故选D

⒍当x0时，变量（C）是无穷小量． A.

sinxx

B.

1x

C. xsin

xa

1x

D. ln(x2)

分析；limfx0，则称fx为xa时的无穷小量

A、limB、lim

sinxx1x

1，重要极限

x0

x0

，无穷大量 1x

0，无穷小量x×有界函数sin

1x

C、limxsin

x0

仍为无穷小量

D、limln(x2)=ln0+2ln2

x0

故选C

⒎若函数f(x)在点x0满足（A），则f(x)在点x0连续。

A. limf(x)f(x0) B. f(x)在点x0的某个邻域内有定义

xx0

C. limf(x)f(x0) D. limf(x)limf(x)

xx0



xx0



xx0



分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即limfxfx0

xx0

连续的充分必要条件limfxfx0limfxlimfxfx0

xx0

xx0

xx0

故选A

（二）填空题 ⒈函数f(x)

x

2

9

x3

ln(1x)的定义域是x|x3

分析：求定义域一般遵循的原则

（1） 偶次根号下的量0 （2） 分母的值不等于0

（3） 对数符号下量（真值）为正

（4） 反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于1

（5） 正切符号内的量不能取k

2

k0,1,2

然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域

f(x)

2

x

2

9

x3

ln(1x)要求

x90x3或x3x30得 x3

x－

11x0



定义域为 x|x3 ⒉已知函数f(x1)xx，则f(x)2

2

2

分析：法一，令tx1得xt1

则f(t)t1t1tt则fxxx

法二，f(x1)x(x1)x11x1所以f(t)t1t

2

2

⒊lim(1

x

12x

)

x

．

x

1

1

分析：重要极限lim1e，等价式lim1xxe

x0xx

推广limfx则lim(1

xa

1f

xa

xx)

)

fx

e

1

limfx

xa

0则lim(1f

xa

fx

e

lim(1

x

12x

)lim(1

x

x

12x

)

2x

12

1

e2

1



x

⒋若函数f(x)(1x),

xk,

x0，在x0处连续，则k e ．

x0

xx0

xx0

分析：分段函数在分段点x0处连续limfxlimfxfx0

limf

x0

xx

lim

x0

xk

1

0kk

所以ke

limf

x0

x0

lim1xxe

⒌函数y

x1,sinx,

x0x0

的间断点是x0

分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点

初等函数在其定义域范围内都是连续的

分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）

limf

x0

xx

lim

x0x0

x1

011

不等，所以x0为其间断点

limf

x0

limsinx0

⒍若limf(x)A，则当xx0时，f(x)A称为xx0．

xx0

分析：lim(f(x)A)limf(x)limAAA0

xx0

xx0

xx0

所以f(x)A为xx0时的无穷小量 （二） 计算题 ⒈设函数

ex,

f(x)

x,

x0x0

求：f(2),f(0),f(1)．

解：f22，f00，f1ee ⒉求函数ylg

2x1x

1

的定义域．

2x1

0x

2x11

解：ylg有意义，要求解得x或x0

x2x0

x0

则定义域为x|x0或x





1 2

⒊在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数． 解：

D

A O h

B C

设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD＝2R 直角三角形AOE中，利用勾股定理得

AE

{《高等数学》第1次作业}.

则上底＝2AE故S⒋求lim

x0

h

2

2RhR

sin3xsin2x

．

sin3x

3x

lim2x

x0

sin3x

1333x3

＝

sin2x2122

解：lim

x0

sin3xsin2x

lim

x0

3x

sin2x2x

2x

⒌求lim

x1

x

2

1

sin(x1)x1sin(x1)tan3xxtan3xx

2

．

lim

x1

解：lim

x1

(x1)(x1)sin(x1)

lim

x1

x1sin(x1)x1



111

2

⒍求lim

x0

．

lim

x0

解：lim

x0

sin3xx1sin3x11lim3133

x0cos3x3xcos3x1

⒎求lim

x0

x{《高等数学》第1次作业}.

2

1

sinx

．

1)

解：lim

1sinx

lim

x0

lim

x0

x

2

x0

《高等数学》第1次作业篇四

西南交大 高等数学IB第1次作业

1

2

3

4

《高等数学》第1次作业篇五

高等数学(二)第1次作业

高等数学（二）（上册）（专升本）（作业）

一、填空题（每小题2分，共20分）

1． 设函数(x)23x，f[(x)]x3x2x1，则f(5)

sinx

2． 函数f(x)cosx

53．lim(15x)e 2x00x2 的连续区间是,0U0,。 221

x

x0

4．若函数f(x)在点可导，则limh0f()f(2h)3f'()。 3h2

5．设f(x)在x0点连续，则limx0f(x)sinx1f(0)。 3x3

6．设ycos311121sin2 ，则dy3cosxxxx

7．设f(x)ex，则f(lnx)1dx xx8．计算 

011xdxxexdx29．计算1。 2t21dt，则f(1) 10．设函数f(x)20tt1x

二、计算题（一）（每小题6分，共36分）

1． 计算limx1sin(1x)x1

解：用诺必达法则

limx1sin(1x)x1limcos(1x)(1)2 x1112x

2． 设f(x)exln(2x)3x2，求f(1)

解：f

''(x)exln(2x)ex116x 2x23x2则f(1)e1ln(2x)e11166e1 2124

xtant3． 求曲线在t处的切线方程 3ycost

解：xt

3 yt33 2

dydxsint1

cos2t

y143 83

 则切线方程为：8x3

4． 计算 xln(1x)dx 22112222ln(1x)d(1x)(1x)ln(1x)(1x) 222解：xln(1x)dx

5． 已知yxtanx，求y

解：依题意得：

y'1tanxlnytanxlnx 两边求导得： lnx2ycosxx

则：yy('1tanx1tanxtanxlnx)x(lnx) 22xxcosxcosx

326． 求函数f(x)x3x9x3的单调区间，极值和拐点

解：依题意得：

f'(x)3x26x9 f''(x)6x6

令f(x)0 得：x11 x23 令f(x)0 得 x=1

轻易可知 x在(,1)U(3,)单调递增， x在1,3单调递减

极大值f(1)8 极小值f(3)24 在x=1时有拐点 （1，-8） '''

三、计算题（二）（每小题7分，共14分）

1． 计算lim1x x1x1lnx

解：原式分母同分并相加，然后使用两次诺必达法则

1xlimx1x1lnx

xlnx(x1)lnx11lnx1()lim()limlimlimx1x1x11x1112x1(x1)lnxlnxlnx12xxxx

dy dx12． 设yf(x3)f(sinx)，f具有一阶导数，求

解：因为f具有一阶导数，直接求解得

dy'32'=f(x)(3x)f(sinx)cosx dx

四、（10分）求曲线yx2，xy2所围成的平面图形的面积及该图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积。

解：轻易可知两曲线的交点为（0,0）和（1,1）

使用一次积分

21211S(xx2)dx(xx3) 3333300

113V(x)2(x2)2dx(xx4)dx(x2x5) 2510000

五、（10分）设f(x)在区间[a, b]上连续，且f(x)0

(x)1132111x

af(t)dtxbdt,f(t)x[a,b]

证明：方程(x)0在(a, b)内有且仅有一个根。

证明：依题意得：

(a)f(t)dtaaabadtbbdtbdt(b)f(t)dtf(t)dt babaf(t)f(t)f(t)

因为f(x)0 ab 所以(a)0 ，(b)0

而(x)f(x)'1,f(x)xa,b

因为f(x)0 所以'(x)0

所以(x)在a,b上单调递增，且(a)0 ，(b)0

所以方程(x)0在(a, b)内有且仅有一个根。

x2axb5，求a, b的值。 六、（10分）若limx11x

解：原式